そもそも数学って何だろう?

ポイント

  • 数学は公式をいじって答えを出す学問ではありません
 数学は公式をいじって答えを出すための学問ではありません。テクニックだけ教えても本質を理解しなければ意味はないのです。
 数学とは厳密に物事を考える学問です。例えば、台形の面積の公式を求めるのに、
(上底+下底)×高さ÷2
と習いますが、どうしてすべての台形がこの式で求まるのか、不思議に思いませんか?
 そういったことを厳密に考える学問が数学なのです。

 どういういいことがあるの?

 例えばこんな経験ありませんか?
  (上底×下底)+高さ÷2と計算してしまった
  2で割るのを忘れてしまった。
  そもそも公式を忘れてしまって解けなかった。
 数学を本質的に理解していればこのようなことは起きないのです。だってそもそも公式なんて覚えなくてもいいんだし(w

 厳密に考えるって?

 厳密に考えるってどういうことでしょう?
 例えば奇数+奇数はどうして偶数になるのかという問題に対して
 1+1=2である。3+7=10である……
 という風に個々の事例で検討していくのではありません。なぜなら数は無限*1にあり、全ての数がそうであるとは限らないからです。
 数学的に考えるとは、 2n+1,2m+1(nmは任意の自然数である)これで、例えばn=3でm=2の場合には7+5になります。すべての奇数をこれで表したことになります 
 任意の奇数を二つ足すのですから、(2n+1)+(2m+1)となります 展開します。2n+1+2m+1 移項します。2n+2m+1+1 計算します。2n+2m+2 2で因数分解します。2(n+m+1)  1は自然数、またmnは定義より自然数なので、(m+n+1)は自然数になる。 故に2(m+n+1)は2で割り切れる。 つまり偶数である。

ヒント

  • 後々見直しやすくするには
  • ・「展開して」「移行して」「計算して」と書く。
  • ・因数分解した時は係数を。
  • ・1歩1歩、手順を踏んで確実に。

 公式をそもそも覚えなくても大丈夫って本当?

 本当です。たとえば、台形の面積は 台形の面積 こういう風に平行四辺形を作るのです。上の平行四辺形の面積は(上底+下底)となりますね。また便宜上、二倍にしたのですから、二で割らなければいけません。

ポイント

  • 証明は一つとは限りません。別の証明がないか探してみるのも数学を楽しむコツです。

 台形の面積の問題が出たら自分の感覚になるまで作図してみましょう。
 こういうふうになぜ足すのか、なぜ2で割るのかを考えれば間違いません。 また忘れたら公式を一から証明すればいいのです。

*1 ここでいう無限とは単にたくさんという意味でありません。興味がある方はガモフの『一、二、三……無限大』を読んでみてください。
参考文献・ユークリッド『原論』(共立出版)